`Thu` $gọn$ $biểu$ $thức:$ `A= (1-1/(1+2)).(1-1/(1+2+3))...(1-1/(1+2+3+...+2006))`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Em xét tổng:

$ S = 1 + 2 + 3 + ...+ n (1)(n = 2; 3;...2006)$

$ S = n + (n - 1) + ...+ 1 (2)$

$ (1) + (2)$ vế - vế:

$ 2S = (n + 1) + (n + 1) + ....+ (n + 1) = n(n + 1)$

$ ⇒ S = \dfrac{n(n + 1)}{2}$

$ ⇒ 1 - \dfrac{1}{1 + 2 + 3 +...+ n}$

$ = 1 - \dfrac{2}{n(n + 1)} $

$ = \dfrac{n(n + 1) - 2}{n(n + 1)} $

$ = \dfrac{n² + n - 2}{n(n + 1)} $

$ = \dfrac{n² + 2n - n - 2}{n(n + 1)} $

$ = \dfrac{n(n + 2) - (n + 2)}{n(n + 1)} $

$ = \dfrac{(n - 1)(n + 2)}{n(n + 1)} $

Do đó với $ n = 2; 3; 4;...;2006$ ta có

$ A = \dfrac{1.4}{2.3}.\dfrac{2.5}{3.4}.\dfrac{3.6}{4.5}...\dfrac{2005.2008}{2006.2007}$

$ = \dfrac{1.2008}{3.2006} = \dfrac{1004}{3009}$