Tại sao bài này không dùng Cauchy được luôn mà phải tách ra ạ?

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Đặt `t = (a + b)/sqrt{ab}` 

Vì `a, b > 0,`

theo bất đẳng thức Cô-si (`AM-GM`) cho `a` và `b`:

`a + b >= 2 * sqrt{ab}`

  Chia cả hai vế cho `sqrt{ab`} (vì `sqrt{ab} > 0`):

`(a + b) / sqrt{ab} >= 2 * sqrt{ab} / sqrt{ab}`

`t >= 2 `

Biểu thức `P` trở thành:

`P = t + 1/t `

 tìm giá trị nhỏ nhất của `P` khi `t >= 2.` 

Xét giá trị của `P` tại `t = 2:`

`P = 2 + 1/2 = 5/2`

Khi `t >= 2`, ta thấy hàm số `f(t) = t + 1/t` là hàm đồng biến. (Ví dụ: Nếu `t1 = 2, t2 = 3. `

`P(t1) = 2 + 1/2 = 2.5. `

`P(t2) = 3 + 1/3 = 3.33...`

Suy ra `P` tăng khi `t` tăng).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của `P` đạt được tại giá trị nhỏ nhất của `t,` tức là khi` t = 2`.

Giá trị nhỏ nhất của `P` là `5/2`.

Dấu bằng xảy ra khi `t = 2`, tức là:

`(a + b)/sqrt{ab}= 2`

`a + b = 2 * sqrt{ab}`

`a - 2 * sqrt{ab} + b = 0`

`(sqrt{a} - sqrt{b})^2 = 0 `

`sqrt{a} - sqrt{b} = 0`

`sqrt{a} = sqrt{b} `

`a = b `