cho a,b thuộc Z thỏa mãn a^2+2b+3 và b^2+2a+3 đều chia hết cho 5. cmr: a+b+2023 chia hết cho 5

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Số chia hết cho $5$ có chữ số tận cùng

không  phải là $0$ hoặc $5$ thì ko chia hết cho $5$

Trước hết ta chứng minh :

$ a - b $ không chia hết cho $5$

Xét số $ (a + 1)² $ là số chính phương nên có 

chữ số tận cùng là $ 0; 1; 4; 5; 6;9$

$ ⇒ (a + 1)² + 2$ có chữ số tận cùng là:

$ 2; 3; 6; 7; 8; 1$ không chia hết cho $5$

Hay $ a² + 2a + 3$ không chia hết cho $5$

Mà theo GT $ a² + 2b + 3$ chia hết cho $5$

$ ⇒ 2(a - b) = (a² + 2a + 3) - (a² + 2b + 3)$

Không chia hết cho $5$

$ ⇒ a - b $ không chia hết cho $5$

Mặt khác theo GT:

$ a² + 2b + 3$ và $b² + 2a + 3$ đều chia hết cho $5$

$ ⇒ (a² + 2b + 3) - (b² + 2a + 3)$

$ = (a² - b²) - 2(a - b)$ 

$ = (a - b)(a + b - 2)$ chia hết cho $5$

Vì $a - b $ không chia hết cho $5$

$ ⇒ a + b - 2 $ chia hết cho $5$

Mà $2025$ chia hết cho $5$

$ ⇒ a + b + 2023 = (a + b - 2) + 2025$

cũng chia hết cho $5$ (đpcm)