Nhà của ba bạn An, Bình, Mai nằm ở 3 vị trí `A, B, C` tạo thành một tam giác vuông tại `B` (như hình vẽ), `AB=8km`;`BC=20km` và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn Mai. Bạn Bình hẹn chở bạn An tại vị trí `M` trên đoạn đường `BC`. Từ nhà bạn An đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn `M` với tốc độ $30km/h$ và từ `M` hai bạn An, Bình di chuyển đến nhà bạn Mai bằng xe máy với vận tốc $50 km/h$ Hỏi điểm hẹn `M` cách nhà bạn Bình bao nhiêu km để bạn An đến nhà bạn Mai nhanh nhất? `A.10km` `B.6km` `C.5km` `D.7,5km`

Đặt $BM=x(x>0)\Rightarrow MC=20-x$

Xem xét như thời gian đợi của hai bạn An, Bình khi gặp tại vị trí $M$ là không đáng kể

Ta có $AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{8^2+x^2}(km)$

Thời gian bạn An đi xe buýt từ nhà đến $M$ là $t_1=\dfrac{\sqrt{64+x^2}}{30}(h)$

Thời gian bạn An, Bình đi từ $M$ đến nhà bạn Mai là $t_2=\dfrac{20-x}{50}(h)$

Tổng thời gian hai bạn di chuyển là $t=\dfrac{\sqrt{64+x^2}}{30}+\dfrac{\sqrt{64+x^2}}{30}(h)$

$\begin{array}{l}
t' = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 64} .30}} - \dfrac{1}{{50}} = \dfrac{x}{{30\sqrt {{x^2} + 64} }} - \dfrac{1}{{50}}\\
t' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{{30\sqrt {{x^2} + 64} }} = \dfrac{1}{{50}}\\
 \Leftrightarrow 50x = 30\sqrt {{x^2} + 64} \\
 \Leftrightarrow 2500{x^2} = 900{x^2} + 57600\\
 \Leftrightarrow 1600{x^2} = 57600\\
 \Leftrightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x = 6\left( {x > 0} \right)
\end{array}$

Lập bảng biến thiên ,ta thấy $\min t(x)=t(6)$

Vậy điểm hẹn cách nhà bạn bình $6km$ thì bạn An đến nhà bạn Mai nhanh nhất.