cho hình bình hành abcd. Gọi M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD a) Chứng minh tứ giác BCNM là hình bình hành b) Chứng minh AC, MN, BD đồng quy c) Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN,BC tại E, F, chứng minh BE = EF d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác BCNE là hình thang cân

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành ⇒ $AB = CD$ và $AB // CD$

- Ta có:

$\text{AM = BM = 1/2 BC (vì M là trung điểm AB)}$
$\text{DN = CN = 1/2 CD (vì N là trung điểm CD)}$

mà $BC = CD$ (vì ABCD là hình bình hành)

⇒ $AM = BM = DN = CN$

- Xét tứ giác $BCNM$ có:

$BM = CN (cmt)$

$\text{BM // CN (vì AB // CD)}$

⇒ Tứ giác BCNM là hình bình hành.

b) Nối A với N, M với C

- Gọi O là giao điểm của AC và BD (1)

- Vì $ABCD$ là hình bình hành ⇒ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

⇒ O là trung điểm AC

- Xét tứ giác $AMCN$ có:

$AM = CN (cmt)$

$AM // CN$ (vì AB // CD)

⇒ Tứ giác $AMCN$ là hình bình hành ⇒ AC và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

mà O là trung điểm AC (cmt) ⇒ O là trung điểm MN

⇒ AC và MN cắt nhau tại O (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AC, MN, BD đồng quy tại O

c) Gọi I là giao điểm của EF và MB

Ta có: EF là trung trực của MB (gt)

Xét ΔEMB có EF là trung trực của MB ⇒ EF đồng thời là phân giác của $\widehat{MEB}$

⇒ $\widehat{E_1}$ = $\widehat{E_2}$

Xét ΔFMB có EF là trung trực của MB ⇒ EF đồng thời là phân giác của $\widehat{MFB}$

⇒ $\widehat{F_1}$ = $\widehat{F_2}$

- Vì tứ giác $BCNM$ là hình bình hành ⇒ $MN // BC$ hay $ME // BF$

⇒ $\widehat{E_1}$ = $\widehat{F_2}$

mà $\widehat{E_1}$ = $\widehat{E_2}$ , $\widehat{F_1}$ = $\widehat{F_2}$

⇒ $\widehat{E_1}$ = $\widehat{E_2}$ = $\widehat{F_1}$ = $\widehat{F_2}$

- Ta có: $\widehat{E_2}$ = $\widehat{F_1}$ (cmt) mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

⇒ $EB // MF$

- Xét tứ giác $MEBF$ có: 

$EB // MF (cmt)$

$ME // BF (cmt)$

⇒ Tứ giác $MEBF$ là hình bình hành 

mà EF $\bot$ MB (vì EF là trung trực của MB)

⇒ Hình bình hành $MEBF$ là hình thoi

⇒ $BE = BF$

d)

Vì $MEBF$ là hình thoi ⇒ MB là phân giác của $\widehat{EBC}$ 
⇒ $\widehat{EBM}$ = $\widehat{MBC}$ hay $\widehat{EBM}$ = $\widehat{ABC}$ $\\$
mà $\widehat{EBC}$ = $\widehat{EBM}$ + $\widehat{ABC}$ 
⇒ $\widehat{EBC}$ = $2\widehat{ABC}$
Để tứ giác $BCNE$ là hình thang cân ⇒ $BC // NE$ và $\widehat{EBC}$ = $\widehat{BCN}$
mà $BC // NE$ (vì BC // MN) 

⇒ Để tứ giác $BCNE$ là hình thang cân thì $\widehat{EBC}$ = $\widehat{BCN}$ 
mà $\widehat{EBC}$ = $2\widehat{ABC}$ ⇒ Để tứ giác $BCNE$ là hình thang cân thì $\widehat{BCN}$ = $2\widehat{ABC}$ hay $\widehat{BCD}$ = $2\widehat{ABC}$ 
⇒ Vậy điều kiện của hình bình hành $ABCD$ để tứ giác $BCNE$ là hình thang cân là $\widehat{BCD}$ = $2\widehat{ABC}$