cho (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz chứng minh rằng x^2013+y^2013+z^2013=(x+y+z)^2013

Từ giả thiết ta có`:`

` (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz`

`<=>x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz=xyz`

`<=>x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2+2xyz=0`

`<=>(xyz+x^2y+xz^2+x^2z)+(xy^2+y^2z+yz^2+xyz)=0`

`<=>x(yz+xy+z^2+xz)+y(xy+yz+z^2+xz)=0`

`<=>(xy+xz+yz+z^2)(x+y)=0`

`<=>(x+y).[(xy+xz)+(yz+z^2)]=0`

`<=>(x+y).[x(y+z)+z(y+z)]=0`

`<=>(x+y)(y+z)(z+x)=0`

`<=>x+y=0` hoặc `y+z=0` hoặc `z+x=0`

`<=>x=-y` hoặc `y=-z` hoặc `z=-x`

`**x=-y`

`=>x^(2023)+y^(2023)+z^(2023)=-y^(2023)+ y^(2023)+z^(2023)`

`=z^(2023)` `(1)`

`(x+y+z)^(2023)=(-y+y+z)^(2023)`

`=z^(2023)` `(2)`

`(1),(2)=>x^(2023)+y^(2023)+z^(2023)=(x+y+z)^(2023)`

Làm tương tự với các trường hợp còn lại ta được đpcm

$#PDC$