Cho hệ : `{(x + y + z = 6),(xyz = 6):} (x ; y ; z \in ZZ)` tìm `(x ; y ; z)` cuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

$#nobody$

`{(x + y + z = 6 (1)),(xyz = 6 (2)):} (x ; y ; z \in ZZ)`

`(2) <=> z = 6/(xy)` (vì tích bằng `6` nên `x ; y ; z` phải khác `0`)

Thay vào `(1)` :

`(1) <=> x + y + 6/(xy) = 6`

`<=> (x^2 y)/(xy) + (xy^2)/(xy) + 6/(xy) = (6xy)/(xy)`

`=> x^2 y + xy^2 + 6 = 6xy`

`<=> x^2 y + xy^2 = 6xy - 6`

`<=> xy(x + y) = 6(xy - 1)`

`TH1:`

`{(xy = 6),(x + y = xy - 1):}`

`<=> {(y = 6/x),(x + y = xy - 1 (3) ):}` (vì `xy = 6` nên `x ; y \ne 0`)

Thay `y = 6/x` vào `(3)` :

`=> x + 6/x = x . 6/x - 1`

`<=> (x^2 + 6)/x = 5`

`<=> x^2 + 6 = 5x`

`<=> x^2 - 5x + 6 = 0`

`<=> (x - 2)(x - 3) = 0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x - 2 = 0\\ x - 3 = 0\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} x = 2(tm)\\ x = 3(tm)\end{matrix}\right.$

`TH2:`

`{(xy = xy - 1),(x + y = 6):}`

`<=> {(0xy = - 1),(x + y = 6):}` (vô lý)

`=>` Vô nghiệm

Với `x = 2 => y = 6/2 = 3`

Thay `x = 2 ; y = 3` vào `(1)` :

`2 + 3 + z = 6 => z = 1`

Với `x = 3 => y = 6/3 = 2`

Thay `x = 3 ; y = 2` vào `(1)` :

`3 + 2 + z = 6 => z = 1`

Vậy : `(x ; y ; z) = (2 ; 3 ; 1) ; (3 ; 2 ; 1) (a)`

Có tiếp:

`(2) <=> y = 6/(xz)` (vì tích bằng `6` nên `x ; y ; z` phải khác `0`)

Thay vào `(1)` :

`(1) <=> x + 6/(xz) + z = 6`

`<=> (x^2 z)/(xz) + 6/(xz) + (xz^2)/(xz) = (6xz)/(xz)`

`=> x^2 z + 6 + xz^2 = 6xz`

`<=> x^2 z + xz^2 = 6xz - 6` 

`<=> xz(x + z) = 6(xz - 1)`

`TH1:`

`{(xz = 6),(x + z = xz - 1 (4) ):}`

`<=> {(z = 6/x),(x + z = xz - 1):}` (vì `xz = 6` nên `x ; z \ne 0`)

Thay `z = 6/x` vào `(4)` :

`(4) <=> x + 6/x = x . 6/x - 1`

`<=> (x^2 + 6)/x = 5`

`<=> x^2 + 6 = 5x`

`<=> x^2 - 5x + 6 = 0`

`<=> (x - 2)(x - 3) = 0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x - 2 = 0\\ x - 3 = 0\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} x = 2(tm)\\ x = 3(tm)\end{matrix}\right.$

`TH2:`

`{(xy = xy - 1),(x + y = 6):}`

`<=> {(0xy = - 1),(x + y = 6):}` (vô lý)

`=>` Vô nghiệm

Với `x = 2 => z = 6/2 = 3`

Thay `x = 2 ; z = 3` vào `(1)` :

`2 + y + 3 = 6 => y = 1`

Với `x = 3 => z = 6/3 = 2`

Thay `x = 3 ; z = 2` vào `(1)` :

`3 + y + 2 = 6 => y = 1`

Vậy : `(x ; y ; z) = (2 ; 1 ; 3) ; (3 ; 1 ; 2) (b)`

Lại có:

`(2) <=> x = 6/(yz)` (vì tích bằng `6` nên `x ; y ; z` phải khác `0`)

Thay vào `(1)` :

`(1) <=> 6/(yz) + y + z = 6`

`<=> 6/(yz) + (y^2 z)/(yz) + (yz^2)/(yz) = (6yz)/(yz)`

`=> 6 + y^2 z + yz^2 = 6yz`

`<=> y^2 z + yz^2 = 6yz - 6`

`<=> yz(y + z) = 6(yz - 1)`

`TH1:`

`{(yz = 6),(y + z = yz - 1 (5) ):}`

`<=> {(z = 6/y),(y + z = yz - 1):}` (vì `yz = 6` nên `y ; z \ne 0`)

Thay `z = 6/y` vào `(5)` :

`(5) <=> y + 6/y = y . 6/y - 1`

`<=> (y^2 + 6)/y = 5`

`<=> y^2 + 6 = 5y`

`<=> y^2 - 5y + 6 = 0`

`<=> (y - 2)(y - 3) = 0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} y - 2 = 0\\ y - 3 = 0\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} y = 2(tm)\\ y = 3(tm)\end{matrix}\right.$

`TH2:`

`{(yz = yz - 1),(y + z = 6):}`

`<=> {(0yz = - 1),(y + z = 6):}` (vô lý)

`=>` Vô nghiệm

Với `y = 2 => z = 6/2 = 3`

Thay `y= 2 ; z = 3` vào `(1)` :

`x + 2 + 3 = 6 => x = 1`

Với `y = 3 => z = 6/3 = 2`

Thay `y = 3 ; z = 2` vào `(1)` :

`x + 3 + 2 = 6 => x = 1`

Vậy : `(x ; y ; z) = (1 ; 2 ; 3) ; (1 ; 3 ; 2) (c)`

Từ `(a) ; (b) ; (c)` :

`=> (x ; y ; z) = (1 ; 2 ; 3) ; (1 ; 3 ; 2) ; (2 ; 1 ; 3) ; (2 ; 3 ; 1) ; (3 ; 1 ; 2) ; (3 ; 2 ; 1)`