Cho các tập hợp A = (0,+vô cực ) và B ={x thuộc R|x^2 - (2m+!) + 2m = 0 } , với m là tham số thực . Tìm ĐK của m để B có đúng 4 tập con đồng thời B thuộc tập con của A Giúp em với ạ !

Cho tập hợp $A = \left( {0, + \infty } \right)$ và $B = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{R}} \right|{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0} \right\}$, với $m$ là tham số thực. Tìm điều kiện của $m$ để $B$ có đúng $4$ tập con đồng thời $B$ là tập con của $A$.

Lời giải

Vì $B$ có 4 tập con nên $B$ có $2$ phần tử. (Giả sử tập $V$ có $n$ phần tử thì nó có $2^n$ tập con)

Ta phải đi tìm $m$ sao cho phương trình ${x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0$ $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt.

Mà $B \subset A$ nên hai nghiệm này phải là hai nghiệm phân biệt dương.

Ta có: \[{\Delta _{\left(  *  \right)}} = {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 4{m^2} + 4m + 1 - 8m = 4{m^2} - 4m + 1 = {\left( {2m - 1} \right)^2}.\]

Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt dương

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _{\left( * \right)}} > 0\\ S > 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {2m - 1} \right)^2} > 0\\ \frac{{2m + 1}}{2} > 0\\ 2m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne \frac{1}{2}\\ m > - \frac{1}{2}\\ m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \ne \frac{1}{2}.\]

Vậy $0 < m \ne \frac{1}{2}$ thoả yêu cầu bài toán.