Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N chứng minh tan^3C = BM/CN ( toán lớp 9)

Xét ΔABC theo hthuc lượng ta có:

+) tan C = $\frac{AB}{AC}$

+) AB² = BH.BC

+) AC² = CH.BC

Xét ΔAHB, ΔAHC theo hthuc lượng ta có:

+) BH² = BM.AB

+) CH² = CN.AC

Giả sử tan³C = BM/CN

⇒ $\frac{AB^{4}}{AC^{4}}$ = $\frac{BM.AB}{CN.AC}$

⇔ $\frac{AB^{4}}{AC^{4}}$ = $\frac{BH²}{CH²}$

⇔ $\frac{AB^{4}}{AC^{4}}$ = $\frac{BH².BC²}{CH².BC²}$ = $\frac{(BH.BC)²}{(CH.BC)²}$

⇔ $\frac{AB^{4}}{AC^{4}}$ = $\frac{AB^{4}}{AC^{4}}$ (ld)

Vậy tan³C = BM/CN (dpcm)