cho a+b+c=0 cmr a^4+b^4+c^4=2(ab+bc+ca)^2

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta có:

`a + b + c = 0`

`<=>  ( a + b + c )^2 = 0`

`<=>  a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 0`

`<=>  a^2 + b^2 + c^2 = - 2( ab + bc + ca )`

`<=>  ( a^2 + b^2 + c^2 )^2 = [ -2( ab + bc + ca ) ]^2`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 =`

`4.( a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2ab^2c + 2a^2bc + 2abc^2 )`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = 4a^2b^2 + 4b^2c^2 + 4c^2a^2 `

`+ 8ab^2c + 8a^2bc + 8abc^2`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 8abc( a+ b + c )`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 0   ( do a + b + c = 0 )`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 = 2[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc.0 ]   `

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 = 2[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc( a + b + c ) ] `

`(  do  a + b + c = 0 )`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 = 2( a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 )`

`<=>  a^4 + b^4 + c^4 = 2( ab + bc + ca )^2`  ( đpcm )