Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm P, Q, sao cho MP, MQ lần lượt vuông góc với AB, AC. a) Chứng minh rằng: MP = MQ và AP = AQ b) Đường thẳng PQ có vuông góc với AM không? Vì sao?

`a)` Xét tam giác vuông `PBM` và tam giác vuông `QCM` có:

`BM = MC (`do `M` là trung điểm của `BC)`

`hatB=hatC (`do tam giác `ABC` cân tại đỉnh `A)`

Do đó, `PBM = QCM (`cạnh huyền – góc nhọn`).`

`=> MP = MQ.`

Ta lại có: `AB = AC (`do tam giác `ABC` cân tại đỉnh `A).`

`AB = AP + PB, AC = AQ + QC. `

`=> AP + PB = AQ + QC`

Mà `PB = QC (`do `PBM = QCM)`

Do đó `AP = AQ.`

`b)`Theo câu `a` ta có, `AP = AQ` và `MP = MQ,` do đó `A` và `M` cùng cách đều hai điểm `P, Q` nên `AM` là đường trung trực của đoạn thẳng `PQ.`

Do đó, `AM` vuông góc với `PQ.`