Cho ABC thỏa: Ha/Hb + Hb/Hc + Hc/Ha = Hb/Ha + Hc/Hb + Ha/Hc Chứng minh rằng tam giác ABC cân

`#Sky`

Ta có: `2 S=ah_a= bh_b= ch_c`

Ta có: `(h_a)/(h_b)+(h_b)/(h_c)+(h_c)/(h_a)=(h_b)/(h_a)+(h_c)/(h_b)+(h_a)/(h_c)`

`<=>(ab.h_a)/(ab.h_b)+(bc.h_b)/(bc.h_c)+(ac.h_c)/(ac.h_a)=(ab.h_b)/(ab.h_a)+(bc.h_c)/(bc.h_b)+(ac.h_a)/(ac.h_c)`

`<=>b/a+c/b+a/c=a/b+b/c+c/a`

`<=>(b^2c+ac^2+a^2b)/(abc)=(a^2c+ab^2+b^2c)/(abc)`

`=>b^2c+ac^2+a^2b=a^2c+ab^2+b^2c`

`<=>b^2c+ac^2+a^2b-a^2c-ab^2-bc^2=0`

`<=>(ac^2-a^2c)+(b^2c-ab^2)+(a^2b-bc^2)=0`

`<=>-ac(a-c)-b^2(a-c)+b(a-c)(a+c)=0`

`<=>(a-c)(-ac-b^2+ab+bc)=0`

`<=>(a-c)(a-b)(b-c)=0`

`<=>a=c` hoặc `a=b` hoặc `b=c`

Vậy tam giác `ABC` là tam giác cân.