Cho hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt CM tại E. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. b) Gọi I là giao điểm của AC và BD, chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng và BI=3EI .

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$
$\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AB, CN = \dfrac{1}{2}CD$
Mà $AB = CD (ABCD$ là hình bình hành$)$
$\Rightarrow AM = CN$

Xét tứ giác $AMCN$, ta có:
$\begin {cases} AM = CN (cmt) \\ AM // CN (AB // CD, M \in AB, N \in CD) \end {cases}$ 

$\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành $($tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau$)$
b) Ta có: $ABCD$ là hình bình hành $(gt), I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AC$
Ta có: $AMCN$ là hình bình hành $(cmt)$
$\Rightarrow AC$ cắt $MN$ tại trung điểm mỗi đường

Mà $I$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $MN$

$\Rightarrow I \in MN$

$\Rightarrow M, N, I$ thẳng hàng

Xét $\Delta ABC$, ta có:

$\begin {cases} BI\text{ là đường trung tuyến của } \Delta ABC (I\text{ là trung điểm của } AC) \\ CM\text{ là đường trung tuyến của } \Delta ABC (M \text{ là trung điểm của } AB) \\  BI \text{ cắt } CM \text{ tại } E\end {cases}$

$\Rightarrow E$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow BE = \dfrac{2}{3}BI$

Mà $BI = BE + EI = \dfrac{2}{3}BI + EI$

$\Rightarrow EI = \dfrac{1}{3}BI$

$\Rightarrow BI = 3EI$