chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 8^n-7n-1 chia hết cho 49

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Xét `n = 1 -> 8^n - 7n - 1 = 0 vdots 49`

Giả sử nó đúng với `n = k ( k > 1 ; k in NN )`

`-> 8^k - 7k - 1 vdots 49 ( 1 )`

Ta chứng minh nó đúng với `n = k + 1`

Mặt khác `:`

`(1) <=> ( 8^k - 1 ) - 7k = ( 8 - 1 )( 8^(k-1) + . . . + 1 ) - 7k vdots 49`

`= 7( 8^(k-1) + . . . + 1 - k ) vdots 49`

`-> 8^(k-1) + . . . + 1 - k vdots 7 ( I )`

Lại có `: 8^(k+1) - 7( k + 1 ) - 1`

`= 8^(k).8 - 8 - 7k`

`= 8( 8^(k-1) - 1 ) - 7k`

`= 8 . 7 . ( 8^(k-1) + . . . + 1 ) - 7k`

`= 8 . 7 . ( 8^(k-1) + . . . + 1 - k )`

`(I) -> 8^(k+1) - 7( k + 1 ) - 1 vdots 49`

Theo nguyên lý quy nạp `->` Luôn đúng