chứng minh rằng với mọi n N thì n ³(n ²-7) ² - 36n chia hết cho 210

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta có:

`n^3 ( n^2 - 7 )^2 - 36n  `

`= n[ n^2( n^2 - 7 )^2 - 36 ]`

`= n[ ( n^3 - 7n )^2 - 6^2 ]`

`= n( n^3 - 7n - 6 )( n^3 - 7n + 6 )`

`= n( n^3 - n - 6n - 6 )( n^3 - n - 6n + 6 )`

`= n[ n( n^2 - 1 ) - 6( n + 1 ) ][ n( n^2 - 1 ) - 6( n - 1 ) ]`

`= n[ n( n - 1 )( n + 1 ) - 6( n + 1 ) ][ n( n - 1 )( n + 1 ) - 6( n - 1 ) ]`

`= n( n + 1 )( n^2 - n - 6 )( n - 1 )( n^2 + n - 6 )`

`= n( n - 1 )( n + 1 )( n^2 - 3n + 2n - 6 )( n^2 + 3n - 2n - 6 )`

`= n( n - 1 )( n + 1 )[ n( n - 3 ) + 2( n - 3 ) ][ n( n + 3 ) - 2( n + 3 ) ]`

`= n( n - 1 )( n + 1 )( n + 2 )( n - 3 )( n - 2 )( n + 3 )`

`= ( n - 3 )( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )`

`Do  ( n - 3 )( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )`  là tích của  ` 7 `  số tự nhiên liên tiếp nên

+ có ít nhất `1` số chia hết cho `2`

+ có ít nhất `1` số chia hết cho `3`

+ có ít nhất `1` số chia hết cho `5`

+ có duy nhất `1` số chia hết cho `7`

Mà  `2; 3; 5; 7`   đôi `1` nguyên tố cùng nhau 

`Và   2 . 3 . 5 . 7 = 210  `

`⇔ ( n - 3 )( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )`  `\vdots`  `210  ∀  n ∈ N`

`Hay   [ n^3( n^2 - 7 )^2 - 36n ] ``\vdots` ` 210  ∀ n  ∈ N  ( đpcm )`