Bài 2. Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2021).P(2022)=2023 . Chứng minh rằng đa thức P(x)-2024 không có nghiệm nguyên.

Giả sử `P(x)-2024` có nghiệm nguyên là `a`, khi đó : `P(x)-2024=Q(x)(x-a)` với `Q(x)` là đa thức hệ số nguyên 

`=>P(x)=Q(x)(x-a)+2024`

$\bullet$ Với `x=2021`, thay vào biểu thức trên, ta được : `P(2021)=Q(2021)(x-2021)+2024`

$\bullet$ Với `x=2022`, thay vào biểu thức trên, ta được : `P(2022)=Q(2022)(x-2022)+2024`

Có : `P(2021).P(2022)=2023=>[Q(2021)(x-2021)+2024][Q(2022)(x-2022)+2024]=2023`

`<=>Q(2021). Q(2022)(x-2021)(x-2022)+2024Q(2021)(x-2021)+2024Q(2022)(x-2022)+2024.2024 =2023`

Xét `x-2021` và `x-2022` là `2` số nguyên liên tiếp `=>(x-2021)(x-2022)\vdots 2=>Q(2021).Q(2022)(x-2021)(x-2022)\vdots 2`

`=>VT=Q(2021). Q(2022)(x-2021)(x-2022)+2024Q(2021)(x-2021)+2024Q(2022)(x-2022)+2024.2024\vdots 2`

Mà `VP=2023` không chia hết cho `2=>` Vô lý

`=>` Giả sử trên là vô lý `=>` Đa thức `P(x)-2024` không có nghiệm nguyên ( dpcm )

Vậy đa thức `P(x)-2024` không có nghiệm nguyên