Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của (O). Gọi I là trung điểm BC a) CMR: B, C, E, F cùng thuộc 1 đường tròn b) CMR: BHCK là hình bình hành. BE.BH + CF.CH = 4IE^2 c) Giả sử góc BAC = 60°. CMR: Tam giác OAH cân *Note: e chx học tứ giác nội tiếp nên câu a ko cm dựa vào tg nội tiếp ạ

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to B, C, E,F \in$ đường tròn đường kính $BC$

b.Ta có: $AK$ là đường kính của $(O)\to KB\perp AB, KC\perp AC$

$\to KB//CH, KC//BH$

$\to BHCK$ là hình bình hành

Vì $\Delta BEC$ vuông tại $E, I$ là trung điểm $BC\to IE=IB=IC=\dfrac12BC\to BC=2IE$

Xét $\Delta BHD,\Delta BEC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to \Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}$

$\to BH\cdot BE=BD\cdot BC$

Tương tự $CH\cdot CF=CD\cdot CB$

$\to BH\cdot BE+CF\cdot CH=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(CD+BD)\cdot BC=BC^2=(2IE)^2=4IE^2$

c.Xét $\Delta AEH,\Delta ABK$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{ABK}(=90^o)$

$\widehat{AHE}=\widehat{BHD}=90^o-\widehat{DBH}=90^o-\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=\widehat{ACB}=\widehat{AKB}$

$\to \Delta AEH\sim\Delta ABK(g.g)$

$\to \dfrac{AH}{AK}=\dfrac{AE}{AB}=\cos\widehat{BAE}=\cos60^o=\dfrac12$

$\to AH=\dfrac12AK=\dfrac12\cdot 2AO=AO$

$\to \Delta AHO$ cân tại $A$