Cho tam giác ABC A, vẽ đường tròn tâm O đường kinh AC cắt BC tại I a) Chứng minh BA là tiếp tuyến của (O) b)Kẻ OM BC tại M, AM cắt (O) tại N, chứng minh tam giác AIM đồng dạng với tam giác CNM rồi suy ra AM.MN=MI² c)Kẻ MK//AC, K AI. Chứng minh 4 điểm M, I, K, O cùng nằm trên một đường tròn d)Kẻ OH AN tại H, chứng minh OM>OH

Giải thích các bước giải:(hình bạn tự vẽ nha

a) Chứng minh BA là tiếp tuyến của (O):

Ta có:
∠IAC = ∠IBC (vì I là giao điểm của hai đường kính AC và BC)
∠ACB = ∠AIB (vì AOCB là hình vuông)

Do đó, 
∠IAC + ∠ACB = ∠IBC + ∠AIB
⇒ ∠IAB = ∠IBA 
⇒ BA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (theo tính chất của tiếp tuyến)

b) Chứng minh tam giác AIM đồng dạng với tam giác CNM:

Ta có:
∠MCI = ∠BCI (trong cùng cùng phía trái đường thẳng AM)
∠CMI = ∠CAI (do AOCB là hình vuông)
∠AIM = ∠CIN (do AIMN là tứ giác nội tiếp)
∠AMI = ∠CNI (do AIMN là tứ giác nội tiếp)

Vậy, ta có tam giác AIM đồng dạng với tam giác CNM (theo góc-góc)

Suy ra,
∠AMN = ∠MIN (do AIMN là tứ giác nội tiếp)
⇒ AM · MN = MI² (do tam giác AIM đồng dạng với tam giác CNM và MAI ~ CNI)

c) Chứng minh 4 điểm M, I, K, O cùng nằm trên một đường tròn:

Vì IM // MK và I là trung điểm của KM, nên I là trung điểm của ON (do N là giao điểm của đường tròn (O) và AM)
⇒ IN = NO
⇒ ∠IMO = ∠MON (do tam giác MIO cân tại I)
⇒ OM = MO
⇒ M là trung điểm của OO (đường tròn tâm O)
⇒ M, I, K, O nằm trên một đường tròn (theo tính chất của đường tròn có diện tích trung bình)

d) Chứng minh OH < OM:

Ta có:
∠OHN = ∠OAN (do tứ giác HAON nội tiếp)
∠HAM = ∠MNO (do tam giác AIM đồng dạng với tam giác CNM)
∠HMN = ∠MON (do tam giác MIO cân tại I)
∠OMN = ∠HOM (do tam giác MIO cân tại I)

Vậy, ta có ∠OHN + ∠HMN = ∠OAN + ∠MON
⇒ ∠OHM = ∠OMH
⇒ OH = OM (do tứ giác OHNM là hình vuông)

Vậy, OM > OH.