Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA=a, OB=2a, OC=3a a/ Tính thể tích khối tứ diện OABC b/ Tính diện tích tam giác ABC c/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OC Gấp ạ, có vẽ hình

a) Vì $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau nên $OA\bot(OBC)$

Diện tích tam giác $OBC$ là $\dfrac{OB.OC}{2}=\dfrac{2a.3a}{2}=3a^2$

Thể tích tứ diện $OABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.OA.\dfrac{OB.OC} 2=a^2$

b) Gọi $d_{O,(ABC)}$ là khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$

Do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau nên
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{d_{\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}^2}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\\  \Leftrightarrow \dfrac{1}{{d_{\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}^2}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}}\\  \Leftrightarrow {d_{\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{6a}}{7} \end{array}$

c) Dựng hình bình hành $ODBC$ ta được:

$OC//BD\subset(ABD)\Rightarrow d_{(OC,AB)}=d_{OC,(ABD)}=d_{O,(ABD)}$

Ta có vì $OBC$ là tam giác vuông mà $ODBC$ là hình bình hành nên $\widehat{OBD}=90^o$
Kẻ $OK\bot AB$

$OA\bot(OBD)\Rightarrow OA\bot BD$ mà $BD\bot OB\Rightarrow BD\bot (OAB)\Rightarrow BD\bot OK$

mà $OK\bot AB$ nên $OK\bot (ABD)$

$\Rightarrow d_{O,(ABD)}=OK=\dfrac{OA.OB}{\sqrt{OA^2+OB^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt 5}$