Cho tam giác `ABC` nội tiếp đường tròn bán kính `R=1.` Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác `ABC` đạt `m a x=?`

Xét tỉ lệ $\dfrac{R}{r}$ ta được:

$\begin{array}{l}
\dfrac{R}{r} = \dfrac{{\dfrac{{abc}}{{4S}}}}{{\dfrac{S}{p}}} = \dfrac{{pabc}}{{4{S^2}}} = \dfrac{{pabc}}{{4p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
 = \dfrac{{abc}}{{4\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
 = \dfrac{{2abc}}{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right)}}\\
\sqrt {\left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)}  \le \dfrac{{\left( {a + b - c + a + c - b} \right)}}{2} = a\left( {{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} \right)\\
tt:\sqrt {\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right)}  \le c\\
\sqrt {\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)}  \le b\\
 \Rightarrow {\sqrt {\left[ {\left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right)} \right]} ^2} \le abc\\
 \Leftrightarrow \left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right) \le abc\\
 \Rightarrow \dfrac{{2abc}}{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right)}} \ge \dfrac{{2abc}}{{abc}} = 2\\
 \Rightarrow \dfrac{R}{r} \ge 2\\
 \Leftrightarrow r \le \dfrac{1}{2}R = \dfrac{1}{2}
\end{array}$

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay tam giác $ABC$ đều.