Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H a) C/m tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF và góc AEF = góc ABC b) AD^2 = AF.AB+BD.CD c) gọi M, N là trung điểm của BC và AH. C/m BC^2 + AH^2 = 4MN^2

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABE,\Delta ACF$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ACF(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

b.Xét $\Delta AFH,\Delta ABD$ có:

Chung $\hat A$

$\hat F=\hat D(=90^o)$

$\to\Delta AFH\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH\cdot AD=AF\cdot AB$

Xét $\Delta DBH,\Delta ADC$ có:

$\widehat{HDB}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\widehat{BHD}=90^o-\widehat{HBD}=90^o-\widehat{EBC}=\widehat{BCE}$

$\to\Delta BDH\sim\Delta ADC(g.g)$

$\to \dfrac{DH}{DC}=\dfrac{DB}{DA}$

$\to DB\cdot DC=DH\cdot DA$

$\to AF\cdot AB+BD\cdot CD=AH\cdot AD+DH\cdot DA=AD^2$

c.Ta có: $\Delta EAH,\Delta EBC$ vuông tại $E$

               $M, N$ là trung điểm $BC, HA$

$\to NE=NA=NH=\dfrac12AH, ME=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to \Delta NEH$ cân tại $N$

$\to \widehat{NEH}=\widehat{NHE}=\widehat{BHD}=\widehat{ACD}=\widehat{MCE}=\widehat{MEC}$

$\to \widehat{NEM}=\widehat{NEH}+\widehat{BEM}=\widehat{MEC}+\widehat{BEM}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to EN\perp EM$

$\to MN^2=EN^2+EM^2=(\dfrac12AH^2)+(\dfrac12BC)^2=\dfrac14AH^2+\dfrac14BC^2$

$\to AH^2+BC^2=4MN^2$