Cho `x;y;z` là các số dương thỏa mãn : `x(x^2023+y^2023)=y(y^2023+z^2023)=z(z^2023+x^2023) ` Chứng minh rằng `x=y=z`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

- Nếu $ x = y = z $ thỏa mãn các hệ thức 

- Xét $ x; y; z $ đôi một khác nhau 

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

$ x(x^{2023} + y^{2023}) = y(y^{2023} + z^{2023})$

$ ⇒ \dfrac{x^{2023} + y^{2023}}{y} = \dfrac{y^{2023} + z^{2023}}{x} = \dfrac{x^{2023} - z^{2023}}{y - x} > 0 (1)$

Tương tự:

$ x(x^{2023} + y^{2023}) = z(z^{2023} + x^{2023})$

$ ⇒ \dfrac{x^{2023} + y^{2023}}{z} = \dfrac{z^{2023} + x^{2023}}{x} = \dfrac{y^{2023} - z^{2023}}{z - x} > 0 (2)$

Do $ x; y; z$ có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát xét :

$ x > z$ từ $ (1) ⇒ y - x > 0 ⇒ y > x > z$

Không thỏa mãn $(2)$

KL $: x = y = z $