trl đc = đc chillbox cho `a,b,c` là các số thực dương thoản mãn `1/(ab)+1/(bc)+1/(ca) \le 1` . Chứng minh rằng `1/[a^2(1+bc)]+1/[b^2(1+ca)]+1/[c^2(1+ab)] \le 1/4`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có`:` `1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) <= 1`

`<=> (a + b + c)/(abc) <= 1`

`<=> a + b + c <= abc`

`=> a^2(1 + bc) = a(a + abc) >= a(a + a + b + c) = a[(a + b) + (a + c)]`

`=> 1/[a^2(1 + bc)] <= 1/{a[(a + b) + (a + c)]} = 1/(4a) . 4/[(a + b) + (a + c)]`

Áp dụng bất đẳng thức `1/x + 1/y >= 4/(x + y)`

`4/[(a + b) + (a + c)] <= 1/(a + b) + 1/(a + c)`

`=> 1/(4a) . 4/[(a + b) + (a + c)] <= 1/(4a) . ( 1/(a + b) + 1/(a + c) )`

`=> 1/[a^2(1 + bc)] <= 1/(4a) . ( 1/(a + b) + 1/(a + c) )`

`CM` tương tự`:`

`1/[b^2(1 + ca)] <= 1/(4b) . ( 1/(b + a) + 1/(b + c) )`

`1/[c^2(1 + ab)] <= 1/(4c) . ( 1/(a + c) + 1/(b + c) )`

`=> 1/[a^2(1 + bc)] + 1/[b^2(1 + ca)] + 1/[c^2(1 + ab)] `

`<=1/(4a) . ( 1/(a + b) +1/(a + c) ) + 1/(4b) . ( 1/(b + a) + 1/(b + c) ) + 1/(4c) . ( 1/(a + c) + 1/(b + c) )`

`= 1/4 . ( 1/[a(a + b)] + 1/[b(a + b)] + 1/[b(b + c)] + 1/[c(b + c)] + 1/[a(a + c)] + 1/[c(a + c)]`

`= 1/4 . (1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) )`

`= 1/4 . 1`

`= 1/4`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a = b = c = \sqrt{3}`