Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 7 và nội tiếp hình nón (N). Biết diện tích xung quanh của hình nón (N) bằng 42π . Tính khoảng cách giữa SB và AC.

Đáp án: $\dfrac{35\sqrt{33}}{36}$ 

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm đường  tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\to SO\perp (ABC)$

Ta có:

$BM =\dfrac{AB\sqrt3}2=\dfrac{7\sqrt3}2$

$\to OB=\dfrac23BM=\dfrac{7\sqrt3}3$

Diện tích xung quanh hình nón:

$S_{xq}=\pi\cdot OA\cdot SA=42\pi$

$\to SA=6\sqrt3$

$\to SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\dfrac{5\sqrt{33}}3$

Gọi $M$ là trung điểm $BC\to AM\perp BC$

Kẻ $MH\perp SB(1)$

Ta có:
$\begin{cases}AC\perp BM, AC\perp SO\end{cases}\to AC\perp (SBM)$

$\to AC\perp MH(2)$

Từ $(1), (2)\to MH$ là đoạn vuông góc chung của $SB, AC$

$\to d(SB, AC)=MH$

Kẻ $ON\perp SB\to ON//MH\to \dfrac{ON}{MH}=\dfrac{OB}{BM}=\dfrac23\to MH=\dfrac32ON$

Vì $\Delta SBO$ vuông tại $O, ON\perp SB$

$\to \dfrac1{ON^2}=\dfrac1{SO^2}+\dfrac1{OB^2}$

$\to ON=\dfrac{35\sqrt{33}}{54}$

$\to d(SB, AC)=MH=\dfrac32ON=\dfrac{35\sqrt{33}}{36}$