Cho tứ giác ABCD. Gọi N, O, P, Q tương ứng là trung điểm của AB, BC, CD và DA a) chứng minh rằng NOPQ là hình bình hành. b) Nếu có thêm AC thuộc BD, chứng minh NOPQ là hình chữ nhật.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) *Xét △ABC, ta có:

N là trung điểm AB (gt)

O là trung điểm BC (gt)

⇒ ON là đường trung bình của △ABC.

⇒ ON // AC và ON = 12AC

*Xét △ADC, ta có:

Q là trung điểm AD (gt)

P là trung điểm CD (gt)

⇒ PQ là đường trung bình của △ADC

⇒ PQ // AC và PQ = 12AC

*Xét tứ giác NOPQ, ta có:

ON // PQ ( ON // AC, PQ // AC)

ON = PQ (ON = PQ = 12AC)

Vậy tứ giác NOPQ là hình bình hành.

b) *Xét △ABD, ta có:

Q là trung điểm AD (gt)

N là trung điểm AB (gt)

⇒ QN // BD

*Ta có:

AC ⊥ BD (gt)

QN // BD (cmt)

⇒ AC ⊥ QN

Mà AC // ON (cmt)

⇒ ON ⊥ QN hay ^ONQ = 90o

*Xét hình bình hành NOPQ, ta có:

^ONQ = 90o

Vậy NOPQ là hình chữ nhật.