Cho tử giác ABCD có hat B = hat D = 90 deg và AB > AD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AD. Đường thẳng DM cắt BC tại N. Gọi H là hình chiếu của D trên AC, K là hình chiếu của C trên AN. Chứng minh rằng: 1. Chứng minh rằng: AM = AH.AC; 2. Chứng minh rằng AHM = AMC và tam giác CDN là tam giác cần 3. Chứng minh rằng : MHN = MCK .

Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\Delta DAC$ vuông tại $D, DH\perp AC, AD=AM$

$\to AM^2=AD^2=AH\cdot AC$

2.Xét $\Delta AMH,\Delta AMC$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AC}{AM}$

$\to \Delta HAM\sim\Delta MAC(c.g.c)$

$\to\widehat{AHM}=\widehat{AMC}$

Ta có: $\widehat{CND}=\widehat{BNM}=90^o-\widehat{BMN}=90^o-\widehat{AMD}=90^o-\widehat{ADM}=\widehat{MDC}=\widehat{NDC}$
$\to \Delta CND$ cân tại $C$

3.Gọi $NH\cap AB=E, CK\cap AB=F$

Ta có: $\Delta CDN$ cân tại $C\to CD=CN$

$\to CN^2=CD^2=CH\cdot CA$

$\to \dfrac{CN}{CH}=\dfrac{CA}{CN}$

Mà $\widehat{HCN}=\widehat{NCA}$

$\to \Delta CHN\sim\Delta CNA(c.g.c)$

$\to \widehat{CNH}=\widehat{CAN}$

$\to \widehat{BEN}=90^o-\widehat{BNE}=90^o-\widehat{CNH}=90^o-\widehat{CAN}=90^o-\widehat{KAC}=\widehat{KCA}=\widehat{FCE}$

$\to \widehat{AEH}=\widehat{NEB}=\widehat{FCA}$

Do $\widehat{EAH}=\widehat{FAC}$

$\to \Delta AHE\sim\Delta AFC(g.g)$

$\to \widehat{AHE}=\widehat{AFC}$

$\to \widehat{NHA}=\widehat{MFC}$

$\to \widehat{MHA}-\widehat{MHN}=\widehat{AMC}-\widehat{MCK}$

$\to \widehat{MHN}=\widehat{MKC}$ vì $\widehat{MHA}=\widehat{AMC}$