1.Tìm số tự nhiên x thoả mãn: c)`( x^2+1)+(x^2+2)+(x^2+3)+....+(x^2+100) = 15050` 2.Cho A = 1/2 . ( 7 mũ 2012 mũ 2015 - 3 mũ 92 mũ 94 ) Chứng minh rằng A là số tự nhiên chia hết cho 5 Mong các bạn giải dễ hiểu nhất có thể ạ!!

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: c) tính được trong đề có 100 biến x^2

Suy ra 100x^2+(1+2+...+100)=15050

Xét 1+2+...+100

Có thể thấy được số cuối cộng số đầu bằng số cố định nghĩa là ghép (1+100) ; (2+99) ; ...

Có công thức tính số chữ số trong dãy số có quy luật là (số lớn nhất - số bé nhất) chia khoảng cách rồi lấy kết quả đó cộng với 1

Từ đó tính được số cặp

Vì vậy nên

1+2+...+100=(1+100)+(2+99)+...

Áp dụng công thức tính số cặp là [(100-1):1+1]/2=50

Suy ra

1+2+...+100=(1+100)*50=5050

Suy ra 

100x^2+5050=15050

<=>100x^2=10000

<=>x^2=100

Vì x là số tự nhiên nên x=10

Vậy x=10

Câu 2:

Đầu tiên chứng minh x^n+y^n chia hết cho x+y với n là số nguyên lẻ

Có x^n+y^n=x^n-x^(n-1)y+x^(n-1)y-...+xy^(n-1)+y^n

=(x+y)[x^(n-1)-x^(n-2)y+...+y^(n-1)] 

Suy ra x^n+y^n chia hết cho x+y

Chứng minh x^n-y^n chia hết x-y với n là số nguyên

x^n-y^n=x^n-x^(n-1)y+x^(n-1)y-...+xy^(n-1)-y^n

=(x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+...+y^(n-1)

Suy ra x^n-y^n chia hết cho x-y

Đầu tiên cần chứng minh 7^4-1 ; 3^4-1 chia hết cho 10

Có 7^4-1=(7^2-1)(7^2+1)=(7^2-1)*50 chia hết cho 10

Có 3^4-1=(3^2-1)(3^2+1)=(3^2-1)*10 chia hết cho 10

Mà có 7^(4k) -1=(7^4)^k-1 chia hết cho 7^4-1

Suy ra 7^(4k)-1 chia hết cho 10

Có 3^(4k)-1=(3^4)^k-1 chia hết cho 3^4-1

Suy ra 3^(4k)-1 chia hết cho 10

Gọi 4^2014*503^2015=x ; 4^93*23^94=y

Suy ra A=[7^(4x)-3^(4y)]/2

Có 7^(4x)-1 chia hết cho 7^4-1

Suy ra 7^(4x)-1 chia hết cho 10

Có 3^(4y)-1 chia hết cho 3^4-1

Suy ra 3^(4y)-1 chia hết cho 10

Suy ra 7^(4x)-1-3^(4y)+1 chia hết cho 10

Suy ra 7^(4x)-3^(4y) chia hết cho 10

Suy ra A chia hết cho 5