Có bao nhiêu số tự nhiên có `5` chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho `9`.

Đáp án: $3024$ số

Giải thích các bước giải:

Gọi $x$ là chữ số cần tìm

Xét $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 

Vì $x$ có $5$ chữ số phân biệt

$\to 10234\le x\le 98765$

$\to$Gọi $S_x$ là tổng các chữ số của $x$

$\to 10\le  S_x\le 35$

$\to S_x=18$ hoặc $S_x=27$ vì $x$ chia hết cho $9\to S_x$ phải chia hết cho $9$

Ta lập tập con của $A$ có $1$ chữ số, $2$ chữ số, $3$ chữ số, $4$ chữ số chia hết cho $9$ là$X_{1i}, X_{2i}, X_{3i}, X_{4i}$ sao cho $X_{ji}\not\subset X_{ki}, \forall k>j$

Đó là các tập

$\{0\}, \{9\}$

$\{1;8\}; \{2;7\}; \{3;6\}; \{4;5\}$

$\{1;2;6\}; \{1;3;5\}; \{2;3;4\}; \{3;7;8\}; \{4;6;8\}; \{5;6;7\}$

$\{1;4;6;7\}; \{2;3;5;8\}$

Với $S_x=18$ ta có có trường hợp sau:

$\displaystyle \begin{bmatrix}\{1,2,6\}\\ \{1,3,5\}\\ \{2,3,4\}\end{bmatrix}\cup\{9\}\cup\{0\}\Rightarrow 3.4.4!$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\{1,2,6\}\cup\{4,5\}\\ \{1,3,5\}\cup\{2,7\}\\ \{2,3,4\}\cup\{1,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 3.5!$

$\displaystyle \{0\}\cup \underbrace{\{1,8\};\;\{2,7\};\;\{3,6\};\;\{4,5\}}_{\text{2 trong 4 tập}}\Rightarrow C_4^2.4.4!$

$\displaystyle \{0\}\cup \begin{bmatrix}\{1,4,6,7\}\\ \{2,3,5,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 2.4.4!$

Với $S_x=27$ ta có các trường hợp sau:

$\displaystyle \{9\}\cup \underbrace{\{1,8\};\;\{2,7\};\;\{3,6\};\;\{4,5\}}_{\text{2 trong 4 tập}}\Rightarrow C_4^2.5!$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\{3,7,8\}\\ \{4,6,8\}\\ \{5,6,7\}\end{bmatrix}\cup\{9\}\cup\{0\}\Rightarrow 3.4.4!$

$\displaystyle \begin{bmatrix}\{3,7,8\}\cup\{4,5\}\\ \{4,6,8\}\cup\{2,7\}\\ \{5,6,7\}\cup\{1,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 3.5!$

$\displaystyle \{9\}\cup \begin{bmatrix}\{1,4,6,7\}\\ \{2,3,5,8\}\end{bmatrix}\Rightarrow 2.5!$

Tổng cộng có $\displaystyle 3.4.4!+3.5!+C_4^2.4.4!+2.4.4!+C_4^2.5!+3.4.4!+3.5!+2.5!=3024$ số tự nhiên có $5$ chữ số phân biệt chia hết cho $9$