Bài 3. Cho hình thang ABCD, lấy điểm M trên đường chéo AC sao cho AM = 2 × MC. Lấy điểm N trên cạnh CD sao cho BDNM là hình thang. a) So sánh diện tích hai tam giác BDN và BDM. b) Tính tỉ số $\frac{{{S_{ABND}}}}{{{S_{BNC}}}}$

a) Vì BDNM là hình thang nên S_BDN = S_BMD (hai tam giác có chung đáy BD, chiều cao hạ từ N xuống BD bằng chiều cao hạ từ M xuống BD cùng bằng chiều cao hình thang BDNM ).
b) Vì AM = 2 × MC nên S_ABM = 2 x S_BMC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ B xuống AC).
Vì AM = 2 × MC nên S_ANM = 2 x S_MNC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N xuống AC).

Suy ra S_ABMN = S_ABM + S_ANM = 2 x S_BMC + 2 x S_MNC = 2 x (S_BMC + S_MNC)

Mà S_ABMN = S_NAB + S_NMB và S_NAB = S_DAB nên S_DAB + S_NMB = 2 x (S_BMC + S_MBC)

$ \Rightarrow $S_DAB = 3 x S_NMB = 2 x (S_BMC +S_MNC + S_NMB) = 2 x S_BNC (1)

Lại có S_ADC = 3 x S_MDC (hai tam giác có chung chiều cao hạ từ D xuống AC và AM = 2 x MC)

Mà hai tam giác này có chung đáy CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ M xuống CD.
Mặt khác, chiều cao hạ từ A xuống CD bằng chiều cao hạ từ B xuống CD

$ \Rightarrow $ Chiều cao hạ từ B xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ M xuống CD.

Do đó S_BDN = 3 x S_MDN

Vì BDNM là hình thang nên S_MDN = S_NMB $ \Rightarrow $S_BDN = 3 x S_NMB

Thay vào (1) ta được S_DAB + S_BDN = 2 x S_BNC

$ \Rightarrow $ S_ABND = 2 x S_BNC  $ \Rightarrow $ $\frac{{{S_{ABND}}}}{{{S_{BNC}}}} = 2$