a) So sánh P với 1 b) So sánh P với căn P c) Chứng minh P bé hơn hoặc bằng 2/3

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 $P = -\dfrac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}(x \ge 0)$

$\Leftrightarrow P - 1 = \dfrac{-5\sqrt{x} + 2 - \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3}$

$= \dfrac{-6\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$
Ta có: $\sqrt{x} + 3 \ge 3 > 0$ với mọi $x \ge 0, -6\sqrt{x} - 1 \le -1 < 0$ với mọi $x \ge 0$

$\Rightarrow \dfrac{-6\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} < 0$ với mọi $x \ge 0$

$\Rightarrow P - 1 < 0$ với mọi $x \ge 0$

$\Rightarrow P < 1$ với mọi $x \ge 0$

Vậy $P < 1$ với mọi $x \ge 0$

b) Ta có: $P < 1$ với mọi $x \ge 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{P} \ge P$ với mọi $0 \le P < 1$

Để $P \ge 0 \Leftrightarrow -\dfrac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} \le 0$

Mà $\sqrt{x} + 3 > 0$ với mọi $x \ge 0$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x} - 2 \le 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} \le \dfrac{2}{5}$

$\Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{4}{25}$

$\Rightarrow \sqrt{P} > P$ với mọi $x$ thoả mãn $0 \le x \le \dfrac{4}{25}$, với  $x < 0$ và $x > \dfrac{4}{25}$ thì $\sqrt{P}$ không xác định

c) $P = \dfrac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$

$= \dfrac{-5\sqrt{x} - 15 + 17}{\sqrt{x} + 3}$

$= -5 + \dfrac{17}{\sqrt{x} + 3}$

Ta có: $\sqrt{x} + 3 \ge 3$ với mọi $x \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{17}{\sqrt{x} + 3} \le \dfrac{17}{3}$ với mọi $x \ge 0$

$\Leftrightarrow P = -5 + \dfrac{17}{\sqrt{x} + 3}\le \dfrac{2}{3}$ với mọi $x \ge 0$

Vậy $P \le \dfrac{2}{3}$