Bài 6: (1đ) Tìm 2 số tự nhiên a và b biết BCNN(a, b) = 15 và a + b = 20. Em hãy giải thích cách làm của mình.

Câu `6` :

Gọi `ƯCLN(a;b)=d=>` $\begin{cases}a=dm\\b=dn\end{cases}$ với `m;n\in NN` và `ƯCLN(m;n)=1`

`=>a+b=dm+dn=>a+b=d(m+n)=>d(m+n)=20=>d\in Ư(20)={1;2;4;5;10;20}`

Do $BCNN(a;b)=15$`=>15\vdots a=>15\vdots d=>d\in Ư(15)={1;3;5;15}`

Mà `d\in{1;2;4;5;10;20}=>d\in{1;5}` 

$\bullet$ Với `d=1`, ta có : $ƯCLN(a;b).BCNN(a;b)=ab$`=>ab=15d=15` ( Do `d=1` )

Do `a;b` có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử `0<=a<=b`, do `ab=15` mà `a;b\in NN`

`=>` $\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}a=1\\b=15\end{cases}$ ( Do `a<=b` ) 

`=>a+b=3+5=8` hoặc `a+b=16` ( Vô lý do `a+b=20` )

$\bullet$ Với `d=5`, ta có : $ƯCLN(a;b).BCNN(a;b)=ab$`=>ab=15d=15.5=75`

Do `a;b` có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử `0<=a<=b`, khi đó : `a+b>=a+a=2a=>2a<=20=>a<=20/2=10`

Mà `ab=75` và `a;b\in NN=>` $\begin{cases}a=5\\b=15\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}a=1\\b=75\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}a=3\\b=25\end{cases}$

`=>a+b=5+15=20` ( Nhận ) hoặc `a+b=1+75=76` hoặc `a+b=28` ( Vô lý do `a+b=20` )

Vậy `(a;b)\in{(5;15),(15;5)}`