Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm của BC. Vẽ MD vuông góc AB tại D, ME vuông góc AC tại E. Trên tia đối của tia DM lấy N sao cho DN = DM. Vẽ CK vuông góc BN tại K. Gọi I là giao của AM và DE. a) Chứng minh tam giác IKN cân b) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chứng minh: AN = 3MF.

a) Chứng minh tam giác IKN cân

• Ta có:
  • MN = MD = DM
  • NK = MN = DM

Do đó, tam giác IKN có hai cạnh tương ứng bằng nhau là MN và NK.

• Ta có:
  • IK = IA - IC
  • IA = IB + AB
  • IC = IB + BC

Do IB = CM = 1/2 BC, nên ta có: * IK = IB + AB - IB - BC * IK = AB - BC

Vì AB < AC, nên IK < 0.

• Do đó, tam giác IKN là tam giác cân.

b) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chứng minh: AN = 3MF

• Ta có:
  • AM = AF + FM
  • AF = MD = DM
  • FM = MF

Do đó, ta có: * AM = MF + 2MF * AM = 3MF

Vậy, AN = 3MF.

Chứng minh chi tiết:

a) Chứng minh tam giác IKN cân

Ta có:

MN = MD = DM NK = MN = DM

Do đó, tam giác IKN có hai cạnh tương ứng bằng nhau là MN và NK.

Ta có:

IK = IA - IC IA = IB + AB IC = IB + BC

Do IB = CM = 1/2 BC, nên ta có:

IK = IB + AB - IB - BC IK = AB - BC

Vì AB < AC, nên IK < 0.

Do đó, tam giác IKN là tam giác cân.

b) Chứng minh: AN = 3MF

Ta có:

AM = AF + FM AF = MD = DM FM = MF

Do đó, ta có:

AM = MF + 2MF AM = 3MF

Vậy, AN = 3MF.

Giải pháp đầu tiên sử dụng định nghĩa của tam giác cân để chứng minh rằng tam giác IKN cân. Giải pháp thứ hai sử dụng tính chất của tam giác vuông để chứng minh rằng AM = 3MF.