Chứng minh rằng n^2+n+1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Chứng minh cho n^2+n+1 không chia hết cho 4

Ta có thể thấy rằng n^2+n+1 có chữ số tận cùng là 1, 3, hoặc 7.

Các số chia hết cho 4 đều có chữ số tận cùng là 0, 4, 8, hoặc 2.

Do đó, n^2+n+1 không chia hết cho 4.

Chứng minh cho n^2+n+1 không chia hết cho 5

Ta có thể thấy rằng n^2+n+1 có chữ số tận cùng là 1, 3, hoặc 7.

Các số chia hết cho 5 đều có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Do đó, n^2+n+1 không chia hết cho 5.

Kết luận

Từ hai chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng n^2+n+1 không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Giải thích thêm

Chứng minh trên dựa trên việc xét chữ số tận cùng của n^2+n+1. Ta có thể thấy rằng n^2+n+1 có chữ số tận cùng là 1, 3, hoặc 7. Các số chia hết cho 4 đều có chữ số tận cùng là 0, 4, 8, hoặc 2. Do đó, n^2+n+1 không chia hết cho 4.

Tương tự, ta có thể thấy rằng n^2+n+1 có chữ số tận cùng là 1, 3, hoặc 7. Các số chia hết cho 5 đều có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Do đó, n^2+n+1 không chia hết cho 5.

Chứng minh này đơn giản hơn chứng minh trước đó vì nó không yêu cầu chúng ta sử dụng phép trừ.