1/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau với \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{1-\sqrt5}{2}\ge x\geq\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}\\\dfrac{1+\sqrt{41}}{2}\geq x\geq\dfrac{1+\sqrt5}{2}\end{array} \right.\) : $6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}$ 2/ Giải bất phương trình sau: $1+4x^2+3\sqrt{x-1}\geq\dfrac{16x^2-41x}{4\sqrt{x-1}-5}$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

1/

$\begin{cases} 6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}>0\\\sqrt{10-x^2+x}\geq0\\\sqrt{x^2-1-x}\ge0 \end{cases}$

⇒Với bất đẳng thức Bunhiacopski, ta luôn đúng với:

+)$(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2\le(6^2+8^2)(\sqrt{10-x^2+x}^2+\sqrt{x^2-1-x}^2)==900$

$⇒6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}\leq30$

Dấu bằng xảy ra khi: $\\\dfrac{6}{\sqrt{10-x^2+x}}=\dfrac{8}{\sqrt{x^2-1-x}}$ $\\⇔6\sqrt{x^2-1-x}=8\sqrt{10-x^2+x}$ $\\⇔(3\sqrt{x^2-1-x})^2=(4\sqrt{10-x^2+x})^2$ $\\⇔9(x^2-1-x)=16(10-x^2+x)$ $\\⇔25x^2-25x-169=0$ $⇔\begin{cases} x_1=\dfrac{5+\sqrt{701}}{10}\\x_2=\dfrac{5-\sqrt{701}}{10} \end{cases}\text{(thỏa mãn điều kiện)}$      

$\text{Xét }(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2\\=(6\sqrt{10-x^2+x})^2+(8\sqrt{x^2-1-x})^2+96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}\\\ge36(10-x^2+x)+64(x^2-1-x)+96.0.0\\=28^2-28x+296$

⇒Để $(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2$ nhỏ nhất thì $28x^2-28x+296$ phải nhỏ nhất              trong khi $96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}\ge0\forall x$                                                                      $⇒96\sqrt{(10-x^2+x)(x^2-1-x)}$ nhỏ nhất với $\begin{cases} 10-x^2+x=0\\x^2-1-x=0 \end{cases}$ $⇒\begin{cases} x\in\text{{$\dfrac{1+\sqrt{41}}{2};\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}$}}\\x\in\text{{$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$}} \end{cases}\text{(thỏa mãn điều kiện)}$

$⇔x\in\text{{$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{41}}{2};\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}$}}$   

Với $x\in\text{{$\dfrac{1+\sqrt{41}}{2};\dfrac{1-\sqrt{41}}{2}$}}$ thì $28x^2-28x+296=576$                  Với $x\in\text{{$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$}}$ thì $28x^2-28x+296=324$      

⇒Giá trị nhỏ nhất của $(6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x})^2$ là $324$

⇔$6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}\ge18$

Vậy $6\sqrt{10-x^2+x}+8\sqrt{x^2-1-x}$ có giá trị lớn nhất là 30 với $x\in\text{{$\dfrac{5+\sqrt{701}}{10};\dfrac{5-\sqrt{701}}{10}$}}$ và có giá trị nhỏ nhất là 18 với $x\in\text{{$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$}}$

2/

ĐKXĐ là: $\begin{cases} x-1\ge0\\4\sqrt{x-1}-5\ne0 \end{cases}⇔\begin{cases} x\ge1\\\sqrt{x-1}\ne\dfrac{5}{4} \end{cases}⇔\begin{cases} x\ge1\\x\ne\dfrac{41}{16} \end{cases}$

$1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge\dfrac{16x^2-41x}{4\sqrt{x-1}-5}\text{(với $x\ge1;x\ne\dfrac{41}{16}$)}$

$⇔1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge\dfrac{(16x-16-25)x}{4\sqrt{x-1}-5}$

$⇔1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge\dfrac{16(x-1)-25}{4\sqrt{x-1}-5}.x$

$⇔1+4x^2+3\sqrt{x-1}\ge(4\sqrt{x-1}+5).x$

$⇔4x^2-5x+1\ge4x\sqrt{x-1}-3\sqrt{x-1}$

$⇔4x^2-4x-x+1\ge(4x-3)\sqrt{x-1}$

$⇔(4x-1)(x-1)-(4x-3)\sqrt{x-1}\ge0$

$⇔[(4x-1)\sqrt{x-1}-(4x-3)]\sqrt{x-1}\ge0$

\(⇔\left[ \begin{array}{l}(4x-1)\sqrt{x-1}-(4x-3)\ge0\\\sqrt{x-1}=0\end{array} \right.\text{(vì $\forall x\ge1$ thì $\sqrt{x-1}\geq0$)}\)

\(⇔\left[ \begin{array}{l}(4x-1)\sqrt{x-1}\ge4x-3\\{x-1}=0\end{array} \right.\)

\(⇔\left[ \begin{array}{l}[(4x-1)\sqrt{x-1}]^2\ge(4x-3)^2\\x=1\end{array} \right.\)

$⇒(4x-1)^2.(x-1)\ge(4x-3)^2$

$⇔(16x^2+1-8x)(x-1)\ge16x^2+9-24x$

$⇔16x^3-40x^2+33x-10\ge0$

+)Đặt $x=b-(\dfrac{-40}{16}:3)=b+\dfrac56$, ta có:

$16(b+\dfrac56)^3-40(b+\dfrac56)^2+33(b+\dfrac56)-10\ge0$

$⇔16(b^3+\dfrac{125}{216}+\dfrac52b^2+\dfrac{25}{12}b)-40(b^2+\dfrac{25}{36}+\dfrac53b)+(33b+\dfrac{55}{2})-10\ge0$

$⇔16b^3-\dfrac13b-\dfrac{55}{54}\ge0$

$⇔b^3-\dfrac{1}{48}b-\dfrac{55}{864}\ge0$

Đa thức $b^3-\dfrac{1}{48}b-\dfrac{55}{864}$ có $\Delta'=(-\dfrac{1}{48})^3.\dfrac{1}{27}+(\dfrac{-55}{864})^2.\dfrac14=\dfrac{7}{6912}>0$

⇒Phương trình này có 1 nghiệm là:

$+)b=\sqrt[3]{-\dfrac{-55}{864}.\dfrac12+\sqrt{\dfrac{7}{6912}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{-55}{864}.\dfrac12-\sqrt{\dfrac{7}{6912}}}=\dfrac{5}{12}$

$⇒x=\dfrac{5}{12}+\dfrac56=\dfrac54$

⇒Đa thức $16x^3-40x^2+33x-10$ có nghiệm là $x=1,25$ và hệ số a = 16 > 0

$⇒16x^3-40x^2+33x-10\ge0$ với $x\ge1,25$ kết hợp với ĐKXĐ

Vậy $\begin{cases} x\geq1,25\\x=1\\x\ne\dfrac{41}{16} \end{cases}$