Cho các số nguyên dương m,n và p là số nguyên tố thỏa mãn p/m-1=m+n/p . Chứng minh rằng p^2=n+2

`p/(m-1)=(m+n)/p` với `m;n\in NN`* và `p` là số nguyên tố 

$\bullet$ Nếu `p\vdots m-1=>m-1\in Ư(p)={+-1;+-p}`

Mà `m` là số nguyên dương `=>m-1>=0=>m-1\in{p;1}`

$*$ Với `m-1=p=>m=p+1`, khi đó biểu thức ban đầu trở thành : `p/(p+1-1)=(p+1+n)/p`

`=>p/p=(p+1+n)/p`

`=>p=p+1+n=>n+1=0` ( Vô lý `AAn\in NN`* )

$*$ Với `m-1=1=>m=2`, khi đó biểu thức ban đầu trở thành :`p/(2-1)=(n+2)/p`

`=>p=(n+2)/p=>p^2 =n+2`

$\bullet$ Nếu `p` không chia hết cho `m-1=>m+n` không chia hết cho `p`

Ta có : `p/(m-1)=(m+n)/p=>p^2 =(m-1)(m+n)`

Do `m+n` không chia hết cho `p`, mà `p` là số nguyên tố `=>` $\begin{cases}m+n=1\\m-1=p^2 \end{cases}$
`=>` $\begin{cases}m+n=1\\m-(m+n)=p^2 \end{cases}$ `=>` $\begin{cases}m+n=1\\ n= -p^2 <0(\text{ vô lý }∀n∈\mathbb{N}*)\end{cases}$

Vậy `p^2 =n+2`