Câu 4: (5 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC. Lấy một điểm M trên cạnh BC sao cho MB=2MC . Nối A với M kéo dài cắt DC kéo dài tại điểm E. Nối B với E. Nối D với M. a) Chứng tỏ rằng tam giác MBE và tam giác MCD có diện tích bằng nhau. b) Gọi O là giao điểm của AM và BD. Tỉnh tỷ số $\frac{OB}{OD}$

Giải thích các bước giải:

a.Gọi chiều rộng $BC=AD=x, x>0$

$\to$Chiều dài hình chữ nhật là $AB=CD=1.5x$

Ta có: $MB=2MC$

$\to MB+MC=3MC$

$\to BC=3MC$

$\to MC=\dfrac13BC=\dfrac13x$

$\to MB=BC-MC=\dfrac23BC=\dfrac23x$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật $\to AD//BC, AB//CD$

$\to S_{MCD}=\dfrac12MC\cdot CD=\dfrac14x^2$

      $S_{ABM}=\dfrac12AB\cdot MB=\dfrac12x^2$

      $S_{EAB}=\dfrac12BC\cdot AB=\dfrac34x^2$

      $S_{MBE}=S_{EBA}-S_{MAB}=\dfrac14x^2$

$\to S_{MCD}=S_{MBE}$

b.Ta có:

$S_{EAB}=\dfrac34x^2$

$S_{MCE}=\dfrac12S_{EBM}=\dfrac18x^2$ vì $MB=2MC$

$S_{AMCD}=S_{ABCD}-S_{ABM}=x\cdot 1.5x-\dfrac12\cdot 1.5x\cdot \dfrac23x=x^2$

$S_{ADE}=S_{ADCM}+S_{MCE}=\dfrac98x^2$

$\to \dfrac{S_{BAE}}{S_{DAE}}=\dfrac23$

Vì $BD\cap AE=O\to$Khoảng cách từ $B, D$ đến $AC$ có tỉ lệ là $\dfrac{OB}{OD}$

Mà $\Delta ABE,\Delta ADE$ có chung đáy $AE$

$\to \dfrac{OB}{OD}=\dfrac{S_{BAE}}{S_{DAE}}=\dfrac23$