Cho hình bình hành ABCD. Phía trong hình bình hành dựng các tia Ax, By, Cz, Dt theo thứ tự tạo với các cạnh AB, BC, CD, DAN các góc bằng nhau và cắt nhau tại M,N,P,Q Chứng minh: a, MNPQ là hình bình hành b, MP, NQ, AC, BD đồng quy

a)

Vì BN = DQ, AD = BC

⇒AD − DQ

= BC − BNBN

=DQ, AD = BC

⇒AD − DQ

=BC − BN hay AQ = NCAQ =NC

Xét tam giác AQMAQM và CNPCNP có:

AQ = CNAM = $\widehat{CPQ}$ 

AM = $\widehat{NCP}$(do ABCD là hình bình hành)

AQ=CNAM=$\widehat{CPQ}$ 

AM =$\widehat{NCP}$NCP(do ABCD là hình bình hành)

⇒AQM=CNP(c.g.c)

⇒QM=NP

⇒AQM=CNP(c.g.c)

⇒QM=NP

Ta có:

MBN = PDQ (c.g.c)

⇒ MN = PQ

MBN=PDQ(c.g.c)

⇒MN=PQ

Tứ giác MNPQMNPQ có 2 cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

b)

Xét tứ giác MNPQ  là hình bình hành 

$A_{1,2}$ = $C_{1,2}$

$A_{1}$ = $C_{1}$ 

→$C_{2}$ = $A_{2}$ ⇒ MN // PQ (1)

$B_{2}$ = $D_{2}$ ⇒ MQ//NP (2)

$\triangle$MNPQ là hình bình hành

⇒ AMCP là hình bình hành

$\triangle$ADM = $\triangle$CBP ( g-c-g)

→ AM = CP

AM // CP ⇒ HBH ⇒ dpcm

Vậy MP, NQ, AC, BD đồng quy