Cho `a,b` là các số thực thỏa mãn `a>0` và `a ne 1`, biết phương trình `a^x-1/{a^x} = 2cos(bx)` có 7 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình `a^{2x} - 2a^x(cosbx+2)+1=0`

Đáp án:

 14 nghiệm thực phân biệt

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$a^x-\dfrac{1}{a^x}=2\cos(bx)$

$⇔a^{2x}-1=2a^x\cos(bx)$

$⇔a^{2x}-2a^x\cos(bx)-1=0$

Đặt $f(x)=a^{2x}-2a^x\cos(bx)-1$

Theo đề bài ta có, phương trình $f(x)=0$ có 7 nghiệm phân biệt

$a^{2x}-2a^x[\cos(bx)+2]+1=0\,\,(**)$

$⇔a^{2x}-2a^x\cos(bx)-4a^x+1=0$

$⇔a^{2x}-2a^x\bigg[2\cos^2\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)-1\bigg]-4a^x+1=0$

$⇔a^{2x}-4a^x\cos^2\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)-2a^x+1=0$

$⇔\bigg(a^{2x}-2a^x+1\bigg)-4a^x\cos^2\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)=0$

$⇔\bigg(a^{x}-1\bigg)^2-\bigg[2a^\frac{x}{2}\cos\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)\bigg]^2=0$

$⇔\left[ \begin{array}{l}a^x-1-2a^\frac{x}{2}\cos\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)=0\\a^x-1+2a^\frac{x}{2}\cos\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)=0\end{array} \right.$ 

Trường hợp 1: $a^x-1-2a^\frac{x}{2}\cos\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)=0$

Đặt $x=2t⇒a^{2t}-2a^t\cos(bt)-1=0$

$⇔f(t)=0$

$⇒$ Phương trình có 7 nghiệm phân biệt

Trường hợp 2: $a^x-1+2a^\frac{x}{2}\cos\bigg(\dfrac{bx}{2}\bigg)=0$

Đặt $x=-2u⇒a^{-2u}-1+2a^{-u}\cos(-bu)=0$

$⇔a^{-2u}-1+2a^{-u}\cos(bu)=0$

$⇔1-a^{2u}+2a^{u}\cos(bu)=0$

$⇔a^{2u}-2a^u\cos(bu)-1=0$

$⇔f(u)=0$

$⇒$ Phương trình có 7 nghiệm phân biệt

Ta xét: $f(0)\ne 0$ nên giả sử $x=x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$ thì $x=-x_0$ sẽ không phải là nghiệm của phương trình $f(x)=0$

$⇒$ 7 nghiệm của phương trình $f(t)=0$ và 7 nghiệm của phương trình $f(u)=0$ hoàn toàn phân biệt

Vậy phương trình $(**)$ có 14 nghiệm thực phân biệt.