Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC căn tại A. Trên cạnh AB và AC lấy lần lượt hai điểm H và K sao cho AH = AK. Gọi giao điểm của CH và BK là O. a) Chứng minh rằng CH = BK. b) Chứng minh rằng $\triangle$HOB = $\triangle$KOC. c) Gọi I là giao điểm của AO và BC. So sánh độ dài AB và Al.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$

Xét $\Delta ABK$ và $\Delta ACH:$

$AB=AC$

$\widehat{BAC}:$ chung

$AK=AH\\ \Rightarrow \Delta ABK = \Delta ACH (c.g.c)\\ \Rightarrow BK=CH\\ b) \Delta ABK = \Delta ACH\\  \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

Có $AB=AC$ mà $AH=AK$

$\Rightarrow AB-AH=AC-AK$

$\Rightarrow BH=CK$

Xét $\Delta BHC$ và $\Delta CKB:$

$BC:$ chung

$BH=CK\\ CH = BK\\ \Rightarrow \Delta BHC = \Delta CKB (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{K_1}$

Xét $\Delta HOB$ và $\Delta KOC:$

$\widehat{H_1}=\widehat{K_1}\\ BH=CK\\ \widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow \Delta HOB = \Delta KOC (g.c.g)\\ c) \Delta HOB = \Delta KOC\\  \Rightarrow OB=OC$

Xét $\Delta AOB$ và $\Delta AOC:$

$AO:$ chung

$OB=OC\\ AB=AC\\ \Rightarrow \Delta AOB = \Delta AOC (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow AI$ là phân giác $\Delta ABC$

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AI$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AI \perp BC$

$\Delta BIA$ vuông tại $I, AB$ là cạnh huyền

$\Rightarrow AB >AI.$