Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = $40^o$ AB= AC. H là trung điểm của BC a) Tính $\widehat{ABC}$, $\widehat{ACB}$ và chứng minh AH $\bot$ BC. b) Đường thẳng d đi qua trung điểm của AC và vuông góc với AC cắt tia CB tại M. Tính $\widehat{MAH}$ c) Trên tia đối của tia AM, lấy điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh AM=CN. d) Vẽ CI $\bot$ MN tại I. AH cắt đường thẳng d tại K . Chứng minh C,I,K thẳng hàng.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC, AB=AC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}=70^\circ$

$\Delta ABC $ cân tại $A, AH$ là trung tuyến đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AH \perp BC$

$b) d$ đi qua trung điểm của $AC$ và vuông góc với $AC$

$\Rightarrow d $ là trực tâm $AC$

$\Rightarrow MA=MC$

$\Rightarrow \Delta MAC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}=70^\circ$

$\Delta ABC$ cân tại $A, AH $ là trung tuyến đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\dfrac{1}{2} \widehat{BAC}=20^\circ$

$\widehat{MAH}=\widehat{MAC}-\widehat{A_1}=50^\circ$

$c) \widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^\circ$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{ABM}=180^\circ-\widehat{ABC}=110^\circ$

$\widehat{MAC}+\widehat{CAN}=180^\circ$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{CAN}=180^\circ-\widehat{MAC}=110^\circ$

Xét $ \Delta ABM$ và $\Delta CAN$

$AB=AC\\ \widehat{ABM}=\widehat{CAN}=110^\circ\\ AM=CN\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta CAN (c.g.c)\\ \Rightarrow AM=CN$

$d)$ Xét $\Delta MAC$

$d \perp AC, AH \perp MC, d$ cắt $AH$ tại $K$

$\Rightarrow K$ là trực tâm $\Delta MAC$

Mà $CI \perp AM$

$\Rightarrow CI$ đi qua $K$ hay $C,I,K$ thẳng hàng.