Tìm x để P nguyên P= (4 căn x)/(x+4)

ĐK: `{(x ge 0),(x + 4 ne 0 (\text{luôn đúng}AA x ge 0)):}`

`<=> x ge 0`

Với `x ge 0` ta có: 

`P = (4sqrtx)/(x+4)`

Vì `x ge 0`

`=> sqrtx ge 0`

`=> 4sqrtx ge 0`

`=> P = (4sqrtx)/(x+4) ge 0` (do `x + 4 ne 0`)         `(1)`

$\\$

Xét `x = 0 => P = 0`

Xét `x > 0` ta chia cả tử và mẫu cho `sqrtx` có:

`P =` $\dfrac{4}{\sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}}$

Do `x > 0 =` $\begin{cases} \sqrt{x} > 0\\\dfrac{4}{\sqrt{x}} > 0 \end{cases}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho `2` số dương ta có:

`\sqrt{x} + 4/sqrtx ge 2\sqrt{\sqrt{x} . 4/\sqrt{x}} = 2sqrt4 = 4`

`=> P =` $\dfrac{4}{\sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}}}$ `le 4/4 = 1`

Do đó: `P le 1                       (2)`

Từ `(1),(2) => 0 le P le 1` mà `P in ZZ`

`=> P in {0;1}`

$\\$

$\bullet$ Với `P = 0`

`<=> (4sqrtx)/(x+4) = 0`

`=> 4sqrtx = 0` (do `x + 4 ne 0`)

`<=> x = 0 (x ge 0, tt{TM})`

$\\$

$\bullet$ Với `P = 1`

`<=> (4sqrtx)/(x+4) = 1`

`=> 4sqrtx = x + 4`

`<=> x - 4sqrtx + 4 = 0`

`<=> (sqrtx - 2)^2 = 0`

`<=> sqrtx - 2 = 0`

`<=> sqrtx = 2`

`<=> x = 4 (x ge 0, tt{TM})`

Vậy `x in {0;4}` thì `P in ZZ`