Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường trung tuyến AM . Qua H kẻ HD//AC ( D thuộc AB ) và HP // AB ( P thuộc AC ) . Đoạn DP cắt AH, AM lần lượt tại O và N a) Chứng minh AH = DP b) Tam giác MAC là tam giác gì ? c) Chứng minh tam giác APN là tam giác vuông Giúp mk với hay mk cho 5 sao

Đáp án:

a) Ta có $HD//AC$ mà $AB\,\bot\,AC$ ($\Delta ABC$ vuông).

$\Rightarrow HD\,\bot\,AB$ (từ vuông góc đến song song đảo).

$HP//AB$ mà $AB\,\bot\,AC$ ($\Delta ABC$ vuông).

$\Rightarrow HP\,\bot\,AC$ (từ vuông góc đến song song đảo).

Xét tứ giác $ADHP$ ta có:

$\widehat{ADH}=90^\circ$ ($HD\,\bot\,AB$).

$\widehat{APH}=90^\circ$ ($HP\,\bot\,AC$).

$\widehat{DAP}=90^\circ$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$).

$\Rightarrow ADHP$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow AH=DP$ (hai đường chéo bằng nhau).

b) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ 
Mà $\Delta ABC$ vuông tại $A\Rightarrow AM=\dfrac12BC=MC$
$\Rightarrow \Delta AMC$ cân (hai cạnh bên bằng nhau).

c) Hai đường chéo của hình chữ nhật $ADHP$ cắt nhau tại $O$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH,DP$

$AO=\dfrac12AH=\dfrac12DP=OP$

$\Rightarrow \Delta AOP$ cân tại $O$ (hai cạnh bên bằng nhau).

$\Rightarrow\widehat{OAP}=\widehat{APO}$ (hai góc đáy bằng nhau).

$\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{APD}$ các cạnh trùng nhau.

Ta thấy $\Delta HAC\backsim\Delta ABC$ do có góc vuông và có góc chung tại đỉnh $C$.

$\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{APD}$ cùng bằng $\widehat{HAC}$.

$\Delta AMC$ cân tại $M$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{MAC}$ (hai góc đáy bằng nhau).

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=\widehat{APD}+\widehat{MAC}$

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=\widehat{APN}+\widehat{NAP}$

$\Rightarrow 180^\circ-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^\circ-\widehat{APN}-\widehat{NAP}$

$\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ANP}=90^\circ\Rightarrow\Delta ANP$ vuông.