Cho k là 1 số nguyên dương và a=3k^2 + 3k + 1.cmr 2a và a^2 là tổng của ba số chính phương cần gấp ạ!

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có: `a = 3k^2 + 3k + 1`

`<=> 2a = 2(3k^2 + 3k + 1)`

`<=> 2a = 6k^2 + 6k + 2`

`<=> 2a = 4k^2 + 4k + 1 + k^2 + 2k + 1 + k^2`

`<=> 2a = (2k + 1)^2 + (k + 1)^2 + k^2 `

Mà `(2k + 1)^2 , (k + 1)^2 , k^2` là `3` số chính phương

`=> 2a` là tổng của ba số chính phương

Ta có: `a^2 = (3k^2 + 3k + 1)^2`

Áp dụng hằng đẳng thức: `(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac`

`=> a^2 = 9k^4 + 9k^2 + 1 + 18k^3 + 6k + 6k^2`

`<=> a^2 = 9k^4 + 18k^3 + 15k^2 + 6k + 1`

`<=> a^2 = 9k^4 + 18k^3 + 9k^2 + 6k^2 + 6k + 1`

`<=> a^2 = (3k^2 + 3k)^2 + 4k^2 + 4k + 1 + 2k^2 + 2k`

`<=> a^2 = (3k^2 + 3k)^2 + (2k + 1)^2 + 2k(k + 1)`

`<=> a^2 = (3k^2 + 3k)^2 + (2k + 1)^2` `+` ($\sqrt{2k(k+1}$)²

`=>` `a^2` là tổng của ba số chính phương