Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM a) Chứng minh tam giác ABM = ACM b) Từ M kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AC. Chứng minh tam giác AEF cân c) Chứng minh AM EF d) Trên tia đối của tia MF lấy điểm I sao cho MI = MF. Gọi P là giao điểm của AM và EF. Q là giao điểm EI và BC. Chứng minh rằng EM, IP, FQ đồng quy

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABM,\Delta ACM$ có:

Chung $AM$

$AB=AC$

$MB=MC$

$\to\Delta ABM=\Delta ACM(c.c.c)$

b.Từ câu a $\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}\to\widehat{MAE}=\widehat{MAF}$

Xét $\Delta AME,\Delta AMF$ có:

$\widehat{MAE}=\widehat{MAF}$

Chung $AM$

$\hat E=\hat F(=90^o)$
$\to\Delta AME=\Delta AMF$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to AE=AF, EM=MF$

$\to\Delta AEF$ cân tại $A$

c.Ta có: $AE=AF, ME=MF\to A, M\in$ trung trực $EF$
$\to AM$ là trung trực $EF$

$\to AM\perp EF$

d.Ta có: $AM$ là trung trực $EF\to AM\perp EF=P$ là trung điểm $EF$

               $MF=MI, I\in$ tia đối của tia $MF\to M$ là trung điểm $IF$

Ta có: $ME=MF, MI=MF\to ME=MI\to\Delta MEI$ cân tại $M$

Mà $\widehat{EMB}=90^o-\widehat{AME}=90^o-\widehat{AMF}=\widehat{CMF}=\widehat{BMI}$

$\to MQ$ là phân giác $\widehat{EMI}$

$\to Q$ là trung điểm $EI$

$\to IP, EM, FQ$ là trung tuyến $\Delta EFI$

$\to EM, IP, FQ$ đồng quy