Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là I, tâm đường tròn bàng tiếp góc A là J. M là trung điểm IJ. Chứng minh rằng M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp án: + Giải thích các bước giải: (Bạn xem hình)

`\hat{IBJ} = 1/2 (\hat{xBC} + \hat{CBA}) = 1/2 . \hat{ABx} = 1/2 . 180^o = 90^o`

`⇒` $\Delta{IBJ}$ vuông tại $B$. 

Có $MI=MJ$ (do $M$ là trung điểm $IJ$)

$⇒ MI=MB$ (do $\Delta{IBJ}$ vuông tại $B$) 

$⇒$ $\Delta{MIB}$ cân tại $M$ nên $\widehat{MIB} = \widehat{MBI}$

$⇔ \widehat{MAB} + \widehat{ABI} = \widehat{MBC} + \widehat{CBI}$

Mà $\widehat{CBI} = \widehat{ABI}$ ($BI$ là tia phân giác)

$⇒ \widehat{MAB} = \widehat{MBC}$

Tương tự ta có : $\widehat{MAC} = \widehat{MCB}$

$⇒ \widehat{MBC}+ \widehat{MCB}=\widehat{MAC} +\widehat{MAB} $

$⇔ 180^o - \widehat{BMC} = \widehat{BAC}$

$⇒ \widehat{BAC} + \widehat{BMC}=180^o$ $⇒$ $ABMC$ là tứ giác nội tiếp

$⇒ M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (đ.p.c.m)