Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh rằng: 1 BK2 = 1 BC2 + 1 4AH2

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có: $AH$ là đường cao của $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow BH = CH = \dfrac{BC}{2}$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ và $\Delta BCK$ vuông tại $K$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{AHC} = \widehat{BKC} = 90^o \\ \widehat{KCH} \text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta ACH \backsim \Delta BCK(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{BK} = \dfrac{CH}{CK}$

$\Rightarrow AH . CK = BK . CH$

$\Leftrightarrow AH . CK = BK . \dfrac{BC}{2}$
$\Leftrightarrow AH^2 . CK^2 = BK^2 . \dfrac{BC^2}{4}$

Mà $BK^2 + CK^2 = BC^2($định lý Pytago cho $\Delta BCK)$

$\Rightarrow CK^2 = BC^2 - BK^2$
$\Rightarrow AH^2(BC^2 - BK^2) = BK^2 . \dfrac{BC^2}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{BC^2 - BK^2}{BC^2 . BK^2} = \dfrac{1}{4AH^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} - \dfrac{1}{BC^2} = \dfrac{1}{4AH^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{BK^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{4AH^2}$