Giúp mình vs ạ. Mình cho 5 sao

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

4) Áp dụng BĐT Cô si cho ta có:

$ ( a² + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) + (b² + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}) $

$ (c² + \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{a}) + (d² + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) $

$ = ( a² + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a}) + (b² + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b}) $

$ + (c² + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c}) + (d² + \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{d})$

$ ≥ 3\sqrt[3]{a².\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}} + 3\sqrt[3]{b².\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{b}}$

$ + 3\sqrt[3]{c².\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}} + 3\sqrt[3]{d².\dfrac{1}{d}.\dfrac{1}{d}}$

$ = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$

Tổng 4 số ko nhỏ hơn 12 thì phải có

ít nhất 1 số ko nhỏ hơn 3 (đpcm)

5) Áp dụng BĐT AM - GM

$ \sqrt[3]{P} = \sqrt[3]{abc} ≤ \dfrac{1}{3}(a + b + c) = 2$

$ ⇒ P = abc ≤ 8 ⇒ MaxP = 0$ 

Xảy ra khi:$ a = b = c = 2$

$ \sqrt[6]{Q} = \sqrt[6]{ab²c³} = \sqrt[6]{108.a.\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}} $

$ ≤ \sqrt[6]{108}.\dfrac{1}{6}(a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{c}{3})$

$ = \sqrt[6]{108}.\dfrac{1}{6}(a + b + c) = \sqrt[6]{108}$

$ ⇒ Q = ab²c³ ≤ 108 ⇒ Max Q = 108$ xảy ra khi:

$ a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} ⇔ a = 1; b = 2; c = 3$

6) Áp dụng BĐT AM - GM:

$ \sqrt[5]{P} = \sqrt[5]{x³(1 - x)²}$

$ = \sqrt[5]{108.\dfrac{x}{3}.\dfrac{x}{3}.\dfrac{x}{3}.\dfrac{1 - x}{2}.\dfrac{1 - x}{2}} $

$ ≤ \sqrt[5]{108}.\dfrac{1}{5}(\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{3} + \dfrac{1 - x}{2} + \dfrac{1 - x}{2})$

$ = \sqrt[5]{108}.\dfrac{1}{5} $

$ ⇒ Max P = \dfrac{108}{3125}$ xảy ra khi :

$ \dfrac{x}{3} = \dfrac{1 - x}{2} ⇔ 2x = 3 - 3x ⇔ x = \dfrac{3}{5}$

$ Q = x(1 - x²) ⇔ Q² = x²(1 - x²)²$ 

$ ⇔ \sqrt[3]{Q²} = \sqrt[3]{x²(1 - x²)²}$

$ = \sqrt[3]{4.x².\dfrac{1 - x²}{2}.\dfrac{1 - x²}{2}}$

$ ≤ \sqrt[3]{4}.\dfrac{1}{3}(x² + \dfrac{1 - x²}{2} + \dfrac{1 - x²}{2}) = \sqrt[3]{4}.\dfrac{1}{3}$
$ ⇒ Q² ≤ \dfrac{4}{27} ⇔ Q ≤ \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
$ ⇒ Max Q = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ xảy ra khi:

$ x² = \dfrac{1 - x²}{2} ⇔ 2x² = 1 - x² ⇔ x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$