Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p^2016 -1 chia hết cho 60 Giúp mình với ạ! (Giải đầy đủ ạ)

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Vì `p` là số nguyên tố `> 5 => p` lẻ `; p` $\not\vdots$ `5`

`=> p` $\not\vdots$ `5;p` $\not\vdots$ `12`

`=> p` chia `5` dư `1;2;3;4,` chia `12` dư `1;3;5;7;9;11`

`=> p` chia `5` dư `+-1;+-2,` chia `12` dư `+-1;+-3:+-5`

`+` Với `p -= +- 1(mod 5)`

     `=>  p^2016 -= 1(mod 5)`

     `=> p^2016 - 1 -= 0 (mod 5)`

`+` Với `p-= +-2(mod 5)`

           `=> p^4 -= 16(mod 5) -= 1(mod 5)`

           `=> (p^4)^504= p^2016 -= 1(mod 5)`

           `=> p^2016 - 1 -= 0(mod 5)`

`=> p^2016 - 1 vdots 5 AA p` là số nguyên tố `> 5(1)`

`+` Với `p -= +-1(mod 12)`

          `=> p^2016 -= 1(mod 12)`

          `=> p^2016 - 1 -= 0(mod 12)`

`+` Với `p` chia `12` dư `+-3 `

             `=> p vdots 3.` Do `p` là số nguyên tố `=> p = 3 < 5(L)`

`+` Với `p -= +-5(mod 12)`

           `=> p^2 -= 25(mod 12) -= 1(mod 12)`

           `=> (p^2)^1008 = p^2016 -= 1(mod 12)`

           `=> p^2016 - 1 -= 0(mod 12)`

`=> p^2016 - 1 vdots 12 AA p` là số nguyên tố `>5(2)`

Từ `1` và `2.` Mà `ƯCLN(5;12) = 1 => p vdots 60(đpcm)`