Bài 4. Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD và ACE ( BAD=CAE = 90 độ). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.

Đáp Án + Giải Thích:

Ta sẽ chứng minh rằng tam giác HAM là tam giác đồng vuông.

Ở tam giác ABD, ta có: BAD = 90° (góc vuông), BAD = BDA = ADB (tam giác vuông cân)
=> Tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A.

Tương tự, ở tam giác ACE, ta có: CAE = 90° (góc vuông), CAE = CEA = ECA (tam giác vuông cân)
=> Tam giác ACE là tam giác vuông cân tại A.

Do đó, ta có:

BAD = BDA = ADB (1)
CAE = CEA = ECA (2)

Khi đó, ta có góc DMA = CMA = (180° - BAD)/2 = (180° - ADB)/2 = BDA/2 = 90°/2 = 45° (bằng cách sử dụng công thức góc phân giác).

Tương tự, ta có góc EMA = ECA/2 = CAE/2 = (180° - CAE)/2 = (180° - ACE)/2 = CEA/2 = 45°.

Vì DMA = EMA = 45°, nên tam giác DEM là tam giác cân. Suy ra MD = ME.

Vì M là trung điểm của DE, nên DM = EM.

Do đó, ta có DM = MD = ME.

Xét tam giác DAM:

AD = AD (cạnh chung)

DM = ME (vừa chứng minh)

góc D = góc E (góc cân)

Vậy, theo trường hợp tam giác đồng dạng (TĐĐ), ta có:
Tam giác DAM ≅ Tam giác EAM.

Do đó, MA = MA và góc DMA = góc EMA.

Như vậy, tam giác HAM là tam giác có cạnh chung MA và góc giữa DMA và EMA bằng nhau.

Vậy, ta kết luận rằng H, A và M thẳng hàng.

 --------------------
Chúc Cậu Học Tốt!
@Mun #chu2
*Note: Vì hiện tại tớ đang bận nên nếu cần vẽ hình thì tớ chỉ nêu được cách vẽ.*