2.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a + b + c = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = a/(ab + 2c) + b/(bc + 2a) + c/(ca + 2b)

`ab + 2c`

`= ab + (a + b + c)c`

`= ab + ac + bc + c^2`

`= (c + b)(c + a)`

`-> a/(ab + 2c) = a/((c + b)(c + a))`

Tương tự :

`-> K = a/((c + b)(c +a)) + b/((a + b)(a + c)) + c/((b + c)(b + a))`

`= (a(a + b) + b(b + c) + c(a + c))/((a + b)(b + c)(c + a))`

`= (a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)/((a + b)(b + c)(c + a))`

Mặt khác :

`(a + b)(b + c)(c + a) <= ((a + b + b + c + c + a)^3)/27 = (4^3)/27`

`= 64/27`

`-> K >= (a^2 + b^2 + c^2 +ab + bc + ca) : 64/27`

`= 27/64 (a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca)`

`= 27/64 [(a + b + c)^2 - (ab + bc + ca)]`

`= 27/64 [4 - (ab + bc + ca)]`

`ab + bc + ca <= ((a + b + c)^2)/3 = 4/3`

`-> -(ab + bc + ca) >= -4/3`

`-> K >= 27/64 (4 - 4/3) = 9/8`

Dấu = xảy ra khi `a = b = c = 2/3`
Vậy `min K = 9/8 <=> a =b  = c = 2/3`